Γιατί υπάρχει όριο ταχυτήτων στον κόσμο (“ταχύτητα φωτός”);
Γιατί υπάρχει όριο ταχυτήτων στον κόσμο (“ταχύτητα φωτός”); |
|
|
Γράφτηκε το Νοέμβριο του 2022
Το “Κοσμικό Όριο Ταχυτήτων” ευθύνεται για αυτό που γνωρίζουμε ως “ταχύτητα του φωτός”. Κάποιοι, που τα ενδιαφέροντά τους εκτείνονται τόσο στη φυσική όσο και στην κοσμολογία, αναρωτιούνται γιατί να πρέπει να υπάρχει ένα απόλυτο και αξεπέραστο όριο ταχυτήτων στο σύμπαν. Η παρούσα σελίδα απαντά το ερώτημα «Γιατί υπάρχει “Κοσμικό Όριο Ταχυτήτων”», που τελικά έχει ως αποτέλεσμα αυτό που ονομάζουμε “ταχύτητα του φωτός”. Αντίθετα από άλλα άρθρα-μου, όπου προχωρώ “περικυκλώνοντας” το αντικείμενο μέχρι να επικεντρωθώ στην καθαυτό απάντηση, στο παρόν θα προχωρήσω κατευθείαν “στο ψητό”, απαντώντας αμέσως την ερώτηση του τίλου του άρθρου. Αφού το κάνω αυτό, θα δώσω περαιτέρω αναλυτικές εξηγήσεις. Θα ακολουθήσω αυτή την τακτική γιατί υποθέτω οτι ο αναγνώστης που αναρωτιέται αυτό που διαβάζει στον τίτλο ήδη κατέχει το απαραίτητο υπόβαθρο. (Χωρίς υπόβαθρο, το ερώτημα δεν δημιουργείται καν στον ανθρώπινο νου.) Άρα, χωρίς άλλη καθυστέρηση, προχωρώ τώρα να προσφέρω τη σύντομη απάντηση: Υπάρχει όριο ταχυτήτων στο σύμπαν (“Κοσμικό Όριο Ταχυτήτων”, εφεξής ΚΟΤ) επειδή όποτε η διάσταση του χρόνου εμπλέκεται με οποιαδήποτε από (ή όλες) τις άλλες τρεις μακρο-διαστάσεις (που αποτελούν αυτό που ονομάζουμε “τριδιάστατο χώρο”), τότε η γεωμετρία του χωρο-χρόνου που προκύπτει είναι υπερβολική, όχι Ευκλείδεια. Και τί στην ευχή σημαίνει το παραπάνω;
Το σύμπαν-μας έχει (απ’ όσο γνωρίζουμε) τέσσερις μακρο-διαστάσεις: τις τρεις που αποτελούν αυτό που γνωρίζουμε ως “χώρο”· ας τις ονομάσουμε s1, s2, και s3· και μία που την αντιλαμβανόμαστε ως “χρόνο”· ας την ονομάσουμε t. Σε μεγάλη συμπαντική κλίμακα, κάθε γνήσιος υποχώρος του τετραδιάστατου (4-D) χωροχρόνου-μας που περιλαμβάνει τις διαστάσεις s1, s2, s3 (μία, δύο, ή και τις τρεις) αλλά όχι την t έχει την Ευκλείδεια μετρική. Αλλά κάθε υποχώρος που περιλαμβάνει τη διάσταση t και οποιεσδήποτε από τις s1, s2, s3 (μία, δύο, ή και τις τρεις) έχει την υπερβολική μετρική.
Σε ένα χώρο με υπερβολική μετρική, μια
υπερβολή
(η κόκκινη καμπύλη) είναι ο τόπος των σημείων που ισαπέχουν από την
αρχή των αξόνων. Για όσους αναγνώστες υπολείπονται σε μαθηματικό υπόβαθρο και αναρωτιούνται τί είναι μια μετρική, η μετρική είναι πραγματικά κάτι το πολύ απλό: είναι ένας τρόπος να μετράμε αποστάσεις σε ένα χώρο. Όλοι είμαστε εξοικειωμένοι με την Ευκλείδεια μετρική, που την εφαρμόζουμε όποτε πιάνουμε στα χέρια-μας μια μεζούρα, ένα χάρακα, ή ένα “μέτρο” (το εργαλείο). Η Ευκλείδεια μετρική χρησιμοποιεί τον τύπο του Πυθαγορείου θεωρήματος για να μας δώσει την απόσταση d μεταξύ δύο σημείων (x1, y1) και (x2, y2):
Ο παραπάνω τύπος εφαρμόζεται σε ένα διδιάστατο (2-D) χώρο με διαστάσεις X και Y. Αν ο χώρος είναι τριδιάστατος (3-D) με διαστάσεις X, Y, και Z, ο τύπος για την απόσταση d μεταξύ των σημείων (x1, y1, z1) και (x2, y2, z2) είναι αντίστοιχα απλούστατος:
(Προς πραγματικούς μαθηματικούς: παρακαλώ μη μου στέλνετε μηνύματα λέγοντάς μου οτι τα περί μετρικών μπορεί να είναι πιο πολύπλοκα. Γνωρίζω περί μετρικών χώρων. Γνωρίζω οτι μια μετρική μπορεί να είναι αρκετά πιο αφηρημένη από τα παραπάνω απλά παραδείγματα, όπως και το ποιες ιδιότητες πρέπει να ικανοποιεί για να ονομάζεται μετρική. Εδώ όμως προσπαθώ να εξηγήσω κάποια πράγματα με τρόπο αρκούντως απλό σε μη-μαθηματικούς.) Και ιδού πώς μπορεί να παρασταθεί ένας Ευκλείδειος χώρος:
Σε χώρους με την Ευκλείδεια μετρική, ένας
κύκλος
(με κόκκινο) είναι ο τόπος των σημείων που ισαπέχουν από την αρχή
των αξόνων. Επομένως: παίρνουμε μια μεζούρα ή ένα χάρακα και μετράμε αποστάσεις στον τριδιάστατο (3-D) χώρο-μας επειδή σ’ αυτόν το χώρο εφαρμόζει η Ευκλείδεια μετρική (τουλάχιστον σε τοπικό επίπεδο, και μακριά από ισχυρά βαρυτικά πεδία)· που σημαίνει οτι ισχύει επίσης το Πυθαγόρειο θεώρημα. Μπορούμε όμως να έχουμε ένα χώρο (χωροχρόνο εννοώ) που να είναι υπερβολικός · δηλαδή έναν στον οποίο ο τύπος για τη μέτρηση αποστάσεων να μην είναι ακριβώς ο Πυθαγόρειος, αλλά ο παρακάτω, που έχει μια “μικρή” διαφορά (χάριν απλότητας ας θεωρήσουμε το χώρο διδιάστατο με διαστάσεις s και t):
Παρατηρήστε το μείον μπροστά από τη διάσταση t! Αυτό το πρόσημο, το μείον, κάνει το χώρο με διαστάσεις s και t υπερβολικό. Και αν έχουμε έναν τετραδιάστατο (4-D) χώρο (όπως ο χωροχρόνος στον οποίο ζούμε και κινούμαστε) με διαστάσεις x, y, z, και t, τότε και πάλι έχουμε να κάνουμε με υπερβολικό χώρο εάν ο τύπος για την απόσταση d είναι:
Αυτός είναι ο υπερβολικός τύπος για την απόσταση μεταξύ των σημείων (x1, y1, z1, t1) και (x2, y2, z2, t2). Παρατηρήστε πάλι οτι το πρόσημο μείον μπροστά από τη διάσταση t είναι που κάνει τον 4-D χώρο (το χωροχρόνο) υπερβολικό ως προς εκείνη τη διάσταση. Στην πραγματικότητα, όπως θα δούμε στην επόμενη ενότητα, το σημαντικό δεν είναι να υπάρχει μείον μπροστά από τη διάσταση t του χρόνου. Το σημαντικό είναι οι τρεις διαστάσεις (του χώρου) να έχουν ένα πρόσημο, ενώ η άλλη διάσταση (του χρόνου) να έχει το αντίθετο πρόσημο. Με άλλα λόγια, η παραπάνω εξίσωση θα μπορούσε να γραφεί ως εξής:
Και πράγματι, αυτή είναι η εξίσωση που θα συναγάγουμε στην επόμενη ενότητα. Τί έχουν να κάνουν όλα τα παραπάνω με το ΚΟΤ, το Κοσμικό Όριο Ταχυτήτων; Μας εξηγούν με άμεσο τρόπο το γιατί υπάρχει το ΚΟΤ. Σε έναν υπερβολικό χώρο υπάρχουν εκείνες οι δύο ασύμπτωτοι, οι δύο διαγώνιες ευθείες που σχηματίζουν ένα X, σωστά; Λίγο-πολύ, εκείνες οι δυο ευθείες “είναι” (ή καθορίζουν) το ΚΟΤ. Γιατί όμως; Διότι κάθε οντότητα που κινείται με σταθερή ταχύτητα σε ευθεία γραμμή (ή ακόμα και μια που παραμένει ακίνητη ως προς μια από τις διαστάσεις) αντιστοιχεί σε μια ευθεία στο χώρο (είτε αυτός είναι Ευκλείδειος, είτε υπερβολικός). Και όταν ο χώρος είναι υπερβολικός, η ταχύτητα αυτής της οντότητας αντιστοιχεί στην κλίση της ευθείας. Και συμβαίνει οτι το όριο όλων των κλίσεων σε έναν υπερβολικό χώρο είναι η κλίση της ασυμπτώτου (οποιασδήποτε από τις δύο· για να μιλάμε συγκεκριμένα, αυτήν / θα την ονομάζουμε “κύρια” ασύμπτωτο). Η κλίση της ασυμπτώτου στη γεωμετρία αντιστοιχεί στο ΚΟΤ στη φυσική, δηλαδή στην ταχύτητα του φωτός. Σημειώστε επιπλέον και τα εξής:
Είναι τόσο απλό. Σημειώστε οτι δεν υπάρχουν τέτοιες “ειδικές ευθείες” — δεν υπάρχουν ασύμπτωτοι — σε έναν Ευκλείδειο χώρο. Κατά συνέπεια δεν υπάρχει καμιά έννοια σαν το ΚΟΤ σε Ευκλείδειους χώρους.
Ένας χώρος με την υπερβολική μετρική είναι αυτός που ονομάζουμε “χώρος Μινκόβσκι” στη σχετικότητα. Μα, «Μισό λεπτό!» θα αναφωνούσε ένας φυσικός. «Η μετρική του σύμπαντός μας δεν είναι του Μινκόβσκι! Είναι του Μινκόβσκι μόνο σε απουσία ύλης, όπου ισχύει η ειδική θεωρία της σχετικότητας! Αλλά όταν η ύλη είναι παρούσα (όπως συμβαίνει στο σύμπαν-μας), τότε έχουμε τη μετρική του Φρίντμαν, και ισχύει η γενική θεωρία της σχετικότητας! Άρα, όσα ισχυρίζεσαι ισχύουν σε ένα μη πραγματικό σύμπαν, όπου η ύλη είναι απούσα.» Ναι, σωστά. Αλλά για να εξηγήσουμε την ύπαρξη του ΚΟΤ, ο χώρος του Μινκόβσκι όπου ισχύει η ειδική σχετικότητα είναι αρκετός. Επιτρέψτε-μου παρακαλώ να το εξηγήσω αυτό. Θεωρήστε την ακόλουθη αναλογία: υποθέστε οτι σας λένε πως το σχήμα της Γης είναι σφαιρικό. Και τότε αναφωνείτε: «Μισό λεπτό! Το σχήμα της Γης δεν είναι σφαιρικό! Η Γη έχει όλες εκείνες τις οροσειρές, τις κοιλάδες, τα ρήγματα, τα φαράγγια, τους κρατήρες, τις ωκεάνειες λεκάνες, και τόσα άλλα μορφώματα! Πώς μπορείς να ονομάζεις κάτι τέτοιο “σφαίρα”;» Ναι, σωστά. Αλλά οι οροσειρές κλπ. αλλοιώνουν το σχήμα της Γης σε πολύ τοπικό επίπεδο. Σε συνολικό επίπεδο, ο πλανήτης-μας έχει σφαιρικό σχήμα κατά πολύ μεγάλη προσέγγιση. (Αγνοήστε το σφαιροειδές, ή μάλλον “απιοειδές” σχήμα-του όσο συζητούμε αυτή την αναλογία.) Παρόμοια, στο σύμπαν-μας, η ύλη (εκεί όπου υπάρχουν σώματα με μεγάλη μάζα, όπως αστέρες και πλανήτες) αλλοιώνει τη μετρική του χωροχρόνου του Μινκόβσκι σε πολύ τοπικό επίπεδο. Στο διαγαλαξιακό χώρο, όπου πρακτικά δεν υπάρχει ύλη σε μετρήσιμες ποσότητες, η ταχύτητα του φωτός (που ισούται με το ΚΟΤ) εξακολουθεί να αποτελεί όριο ταχυτήτων, και απαιτεί μια εξήγηση. Στην πραγματικότητα, δεν χρειάζεται να πάμε τόσο μακριά όπως στο διαγαλαξιακό χώρο για να παρατηρήσουμε την απουσία ύλης. Ακόμη και εντός του πλανητικού-μας συστήματος, ή ακόμη και μεταξύ Γης και Σελήνης, ο χωροχρόνος κυρτώνεται τόσο ελάχιστα λόγω της παρουσίας ύλης των γειτονικών ουράνιων σωμάτων που η μετρική είναι του Μινκόβσκι κατά εξαιρετικά μεγάλη προσέγγιση. Το να προσεγγίζουμε το χωροχρόνο της γενικής σχετικότητας τοπικά με ένα χώρο Μινκόβσκι είναι παρόμοιο με την προσέγγιση κάθε ομαλής κυρτής επιφάνειας τοπικά με ένα Ευκλείδειο επίπεδο. Και, όπως κάθε μαθηματικός θα σας βεβαιώσει, υπάρχει ένα θεώρημα της Ανάλυσης όπου αποδεικνεύεται οτι μια τέτοια προσέγγιση είναι πάντοτε δυνατή. (Πρόκειται για το εφαπτόμενο στην επιφάνεια επίπεδο στο σημείο της επιφάνειας όπου γίνεται τοπικά η προσέγγιση.) Τώρα όμως τίθεται το ερώτημα: γιατί ο χωροχρόνος-μας είναι συνολικά του Μινκόβσκι, δηλαδή υπερβολικός ως προς το χρόνο (αγνοώντας τις τοπικές κυρτώσεις-του λόγω υλικών σωμάτων με μεγάλη μάζα); Αυτό είναι ένα βαθύτερο ερώτημα, που σχεδιάζω να απαντήσω σε ένα άλλο άρθρο. (Έχει να κάνει με την ανθρώπινη νόηση και την “ανθρωπική αρχή”.) Αλλά στον παρόντα χωροχρόνο αντιμετωπίζουμε το ερώτημα: δεδομένου οτι ο χωροχρόνος-μας έχει συνολικά τη μετρική του Μινκόβσκι, γιατί υπάρχει το ΚΟΤ (και επομένως, γιατί η ταχύτητα του φωτός είναι όριο ταχυτήτων); Θεωρώ οτι το ερώτημα απαντήθηκε με τα όσα ήδη έγραψα. Αλλά για να διευκρινίσω και να “στολίσω” την απάντηση για τον αναγνώστη που ενδιαφέρεται, επιτρέψτε-μου να προχωρήσω λίγο ακόμα.
Ας εξετάσουμε τώρα την εξής πρόταση: «Κάθε αντικείμενο που κινείται ευθέως και με σταθερή ταχύτητα εντός ενός χώρου με την υπερβολική μετρική, αντιστοιχεί σε μια ευθεία του χώρου αυτού, και η ταχύτητα του αντικειμένου αντιστοιχεί στην κλίση της ευθείας.» (Υποθέτω ένα διδιάστατο χώρο εδώ, χάριν απλότητας.) Ας θεωρήσουμε την κλίση της ευθείας που ονομάσαμε “ασύμπτωτο” νωρίτερα. Η ιδιότητα που χαρακτηρίζει την ασύμπτωτο είναι οτι κάθε τμήμα-της αντιστοιχεί σε ένα αντικείμενο που κινείται με τρόπο ώστε το διάστημα χώρου που καλύπτει κατά την κίνησή του να είναι ίσο με το διάστημα χρόνου που πήρε για να κάνει την κίνηση, υποθέτοντας οτι οι μονάδες μέτρησης επί των αξόνων t και s είναι τέτοιες ώστε η ευθεία να είναι ασύμπτωτος. Αυτό φαίνεται στο διάγραμμα που ακολουθεί. (Η υπερβολή έχει παραλειφθεί από το διάγραμμα χάριν απλότητας.)
Εδώ, το κόκκινο τμήμα της ευθείας, που είναι μέρος της κύριας
ασυμπτώτου, αντιστοιχεί σε αντικείμενο που έχει κινηθεί για ένα
διάστημα χώρου ίσο με s2
– s1 και που
πήρε χρόνο t2
– t1 για να
καλύψει αυτή την απόσταση. Επειδή αυτή είναι η ασύμπτωτος, ισχύει
οτι s2
– s1 = t2
– t1. Ή, αν
συμβολίσουμε με s το s2
– s1 και με
t το t2
– t1,
μπορούμε να γράψουμε: s = t. Αυτό μπορεί να ισχύσει
μόνο κατά μήκος της ασυμπτώτου. Τώρα, εξετάζοντας
προσεκτικά τα διαστήματα s
Αν η μονάδα χρόνου είναι το δευτερόλεπτο (s) και η μονάδα μήκους το μέτρο (m) τότε στο σύμπαν-μας το c ισούται με 299,792,458 m/s· με άλλα λόγια, σχεδόν 300,000 km/s. Αν όμως χρησιμοποιούσαμε το έτος σαν μονάδα χρόνου και το έτος φωτός σαν μονάδα μήκους, τότε το c θα ήταν ίσο με 1 (έτη φωτός ανά έτος). Επομένως η τιμή του c δεδομένων κάποιων μονάδων μέτρησης είναι ζήτημα ανθρώπινων συμβάσεων. Αλλά το ανεξάρτητο των ανθρώπινων συμβάσεων γεγονός είναι οτι υπάρχει μια “ειδική” κλίση για την οποία ισχύει η εξίσωση (1), όποια κι αν αποφασίσουμε οτι θα είναι η αριθμητική τιμή του c στις αυθαίρετες μονάδες-μας. Αυτή η κλίση είναι η κλίση της ασυμπτώτου. Συμπερασματικά: το c, που είναι η ταχύτητα του φωτός, έχει την παράξενη τιμή 299,792,458 m/s (που μοιάζει όχι μόνο παράξενη αλλά και αυθαίρετη) επειδή οι μονάδες μέτρησής μας είναι αυθαίρετες. Το σύμπαν δεν ενδιαφέρεται αν εμείς μετράμε το χρόνο σε δευτερόλεπτα, και τα μήκη σε μέτρα, πόδια, μίλια, στάδια, ή παρασάγκες. Το σύμπαν “λέει”: «Υπάρχουν αυτές οι ασύμπτωτοι (επειδή ο χωροχρόνος είναι υπερβολικός, όχι Ευκλείδειος). Ότι κινείται επί αυτών των ασυμπτώτων, κινείται με αυτό που εσείς οι άνθρωποι ονομάζετε “ταχύτητα του φωτός”. Μετράτε-την με όποιες μονάδες θέλετε· η φύση-της δεν αλλάζει, γιατί αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη κλίση των ασυμπτώτων του υπερβολικού χωροχρόνου, δηλαδή του τετραδιάστατου (4-D) συνεχούς που αποτελεί τον “καμβά” του εαυτού-μου.»
Στη γεωμετρία, τα (t1, s1)
και (t2, s2)
ονομάζονται “σημεία” (ενός 2-D χώρου). Στη φυσική
ονομάζονται “γεγονότα” (ενός 2-D σύμπαντος, αλλά αν το s
περιλαμβάνει και τις τρεις χωρικές διαστάσεις τότε μιλάμε για
γεγονότα του 4-D σύμπαντός μας). Στη φυσική,
γεγονότα που ικανοποιούν την εξίσωση (1) λέμε οτι έχουν μια “φωτοειδή”
σχέση μεταξύ-τους. Αυτό σημαίνει οτι ένα φωτόνιο που ξεκινά από το
s Η εξίσωση (1) έρχεται πολύ κοντά στο να μας
δώσει την απόσταση μεταξύ δύο γεγονότων. Χρειάζεται μόνο να
την αλλάξουμε λίγο για να φτάσουμε σε μια κατάλληλη εξίσωση για την
απόσταση. Πρώτα υψώνουμε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη-της: Και μετά φέρνουμε και τους δύο όρους στην ίδια
(την αριστερή) πλευρά: Η εξίσωση (1´´) λέει οτι η απόσταση μεταξύ δύο
φωτοειδών γεγονότων (t
Λύνοντας την εξίσωση (1´´´) ως προς d παίρνουμε επιτέλους τον τύπο που μας δίνει την απόσταση μεταξύ δύο γεγονότων:
Η εξίσωση (2) είναι ουσιαστικά η ίδια με αυτή που συναντήσαμε στην εισαγωγή. Μόνο τα πρόσημά της είναι ανεστραμμένα ως προς το t και το s. Όπως θα δούμε αμέσως, το κάναμε αυτό ώστε να έχουμε μια θετική ποσότητα μέσα στην τετραγωνική ρίζα για την περίπτωση των αντικειμένων που, όπως εμείς οι άνθρωποι και ο κόσμος των υλικών σωμάτων γύρω-μας, κινούνται με ταχύτητες μικρότερες του ΚΟΤ (της ταχύτητας του φωτός). Ας δούμε δύο γεγονότα (t1, s1) και (t2, s2) για τα οποία | s1 – s2 | < | t1 – t2 |. Με άλλα λόγια, τα δύο αυτά γεγονότα αντιστοιχούν στο αρχικό και τελικό σημείο ενός αντικειμένου που κινείται ευθεία και με σταθερή ταχύτητα αργότερα από το ΚΟΤ, διότι η κλίση της ευθείας που τα ενώνει είναι μικρότερη από την κλίση της ασυμπτώτου:
Οι κόκκινες γραμμές που εμφανίζονται σ’ αυτά τα διαγράμματα ονομάζονται “κοσμικές γραμμές”. Η κοσμική γραμμή στο παραπάνω διάγραμμα παριστάνει ένα αντικείμενο που ξεκινάει στο γεγονός (t 1, s1), κινείται ευθεία και με σταθερή ταχύτητα, και καταλήγει στο γεγονός (t2, s2). Εφόσον | s1 – s2 | < | t1 – t2 |, αυτό το αντικείμενο κινείται πιο αργά από την ταχύτητα του φωτός (ή: το ΚΟΤ).Και αυτή, παρεμπιπτόντως, είναι η εξήγηση για την επιλογή να δείχνουμε τον άξονα t οριζόντιο και τον άξονα s κατακόρυφο, αντί για το αντίθετο: επειδή με τον τρόπο αυτό μας είναι νοητικά ευκολότερο να σκεφτόμαστε οτι οι κλίσεις που είναι μικρότερες από την κλίση της ασυμπτώτου αντιστοιχούν σε αντικείμενα που κινούνται αργότερα από το φως. Αντίθετα, κλίσεις μεγαλύτερες από της ασυμπτώτου αντιστοιχούν σε οντότητες που κινούνται γρηγορότερα από το φως.
Το ίδιο θα ίσχυε αν η κόκκινη γραμμή αναποδογυριζόταν κατακόρυφα (“τα πάνω-κάτω”), κάνοντας τα s1 και s2 να ανταλλάξουν τις θέσεις-τους στον άξονα s. Και πάλι θα ίσχυε οτι | s1 – s2 | < | t1 – t2 |. Το μόνο που θα άλλαζε θα ήταν οτι το αντικείμενο θα κινείτο τώρα από το s2 προς το s1, δηλαδή προς την αντίθετη κατεύθυνση. Τα αντικείμενα που κινούνται πιο αργά από το ΚΟΤ ονομάζονται “χρονοειδή”. Και επειδή αυτό ισχύει προφανώς και για τους ανθρώπους, έπεται οτι κ’ εμείς είμαστε χρονοειδή αντικείμενα, μαζί με όλα όσα υπάρχουν τριγύρω-μας. Έχουμε μια εξαιρετικά επιμήκη (“μακρουλή”) ύπαρξη στο χρόνο, ενώ η ύπαρξή μας στο χώρο είναι ιδιαίτερα περιορισμένη — ένα “σχεδόν τίποτα”. Χρονοειδείς οντότητες λοιπόν είμαστε, κι ας μην το αντιλαμβανόμαστε. Τώρα ας εξετάσουμε τη γραμμή ενός αντικειμένου που κινείται γρηγορότερα από το φως (πάντα σε ευθεία και με σταθερή ταχύτητα):
Στο παραπάνω διάγραμμα βλέπουμε οτι | s1 – s2 | > | t1 – t2 |. Επομένως, αφού η οντότητα εκτείνεται περισσότερο στο χώρο απ’ όσο εκτείνεται στο χρόνο, κινείται γρηγορότερα από το φως.
Οι οντότητες που κινούνται γρηγορότερα από το ΚΟΤ ονομάζονται “χωροειδείς”. Η κόκκινη κοσμική γραμμή του προηγούμενου διαγράμματος περιγράφει μια χωροειδή οντότητα.
Αν ένα αντικείμενο κινείται με μη-σταθερή ταχύτητα, η κοσμική γραμμή-του είναι καμπύλη· αλλά και πάλι, η κλίση της εφαπτόμενης ευθείας σε κάθε σημείο της καμπύλης αυτής θα είναι μικρότερη από την κλίση της ασυμπτώτου. Μόνο το φως κινείται ακριβώς στο ΚΟΤ (εν κενώ — αυτό δεν χρειάζεται να το αναφέρω περαιτέρω) και επομένως είναι φωτοειδές. Ή, σε όρους των διαγραμμάτων-μας, μόνο το φως έχει την κλίση της ασυμπτώτου. Γιατί “Όριο”?Αλλά γιατί το ΚΟΤ να λέγεται όριο ταχυτήτων; Αν υπάρχουν οντότητες με κλίσεις μικρότερες, ίσες, ή μεγαλύτερες από εκείνη της ασυμπτώτου, το ΚΟΤ θα μπορούσε να ονομαστεί “ειδική περίπτωση”, εννοώντας οτι αντιστοιχεί σ’ εκείνες τις οντότητες που έχουν κλίσεις ακριβώς ίσες με της ασυμπτώτου. Ο λόγος είναι οτι όλες οι οντότητες που έχουν κλίσεις μικρότερες από εκείνη της ασυμπτώτου (οι χρονοειδείς, όσες κινούνται πιο αργά από το φως) δεν μπορούν να αυξήσουν τις ταχύτητές τους (να “επιταχύνουν” είναι ο τεχνικός όρος) ώστε να φτάσουν ακριβώς στην κλίση της ασυμπτώτου, γιατί για να το κάνουν αυτό απαιτείται άπειρη ενέργεια. Για τις οντότητες αυτές, το ΚΟΤ είναι πράγματι ένα “όριο ταχύτητας”. Και, αντίθετα με τα οικεία-μας όρια ταχύτητας που η τροχαία βάζει στους δρόμους, το να σπάσουμε το ΚΟΤ σημαίνει να σπάσουμε τους νόμους της φυσικής — πράγμα αδύνατο. Εφόσον το “χρονοειδείς” περιλαμβάνει κι εμάς με τα τριγύρω-μας αντικείμενα, το ΚΟΤ είναι ένα απόλυτο όριο ταχύτητας για εμάς τους ανθρώπους, και για κάθε τεχνολογικό κατασκεύασμα που μπορεί να επινοήσουμε. Παρόμοια, όλες οι χωροειδείς οντότητες (αν υποθέσουμε οτι υπάρχουν τέτοιες), που ήδη κινούνται γρηγορότερα από το φως, δεν μπορούν να μειώσουν τις ταχύτητές τους (να “επιβραδύνουν”) ώστε να φτάσουν ακριβώς στο ΚΟΤ, γιατί για να το κάνουν απαιτείται και πάλι άπειρη ενέργεια. Η ενέργεια μιας χωροειδούς οντότητας ελαττώνεται όταν αυξάνει η ταχύτητά της, πλησιάζοντας το μηδέν καθώς η ταχύτητά της συνεχίζει να αυξάνεται προς το άπειρο. Γιατί συμβαίνει αυτό; Γιατί απαιτείται αυτή η «άπειρη ενέργεια» προκειμένου μια οντότητα να φτάσει ακριβώς στο ΚΟΤ, είτε επιταχύνοντας (“από κάτω”) είτε επιβραδύνοντας (“από πάνω”); Ιδού ο τύπος που συνδέει την ενέργεια E με την ταχύτητα v, στη σχετικιστική φυσική:
Βλέπουμε οτι, από τη μια, αν v < c (χρονοειδείς οντότητες) τότε καθώς το v → c “από κάτω”, η τετρ. ρίζα στον παρονομαστή → 0, επομένως παίρνουμε E → ∞. Από την άλλη, αν v > c (χωροειδείς οντότητες) τότε η τετραγωνική ρίζα στον παρονομαστή παίρνει φανταστικές τιμές, οπότε αν υποθέσουμε οτι v → c “από πάνω”, ο παρονομαστής → 0i. Στην περίπτωση αυτή, αν θέλουμε το E να είναι πραγματικός (μη φανταστικός) αριθμός, μαθηματικά σκεπτόμενοι, το m (η μάζα της ταχύτερα απ’ το φως κινούμενης οντότητας) πρέπει να είναι επίσης φανταστική — αν και αυτό είναι θέμα συζητήσιμο μεταξύ φυσικών. Σε κάθε περίπτωση, και πάλι συμβαίνει οτι E → ∞. Οι μόνες οντότητες που ήδη βρίσκονται στο ΚΟΤ και είναι άμεσα παρατηρήσιμες από εμάς είναι τα πολύ οικεία-μας φωτόνια, τα “σωματίδια φωτός” (πιο σωστά: τα κβάντα του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου), που έχουν μηδενική μάζα και επομένως κινούνται με την ταχύτητα του φωτός. Κάθε οντότητα με μηδενική μάζα υποχρεούται (από τους νόμους της φυσικής) να κινείται στο ΚΟΤ. Επειδή το φως (τα φωτόνια) ήταν ιστορικά η πρώτη οντότητα που παρατηρήθηκε να έχει το ΚΟΤ, το ΚΟΤ ονομάστηκε “ταχύτητα του φωτός”. Αλλά υπάρχουν κι άλλες οντότητες που έχουν μηδενική μάζα και άρα κινούνται στο ΚΟΤ, όπως τα γκλουόνια (ή γλοιόνια, τα gluons), που συνδέουν τα κουωρκ των πρωτονίων και νετρονίων, και είναι κβάντα της ισχυρής πυρηνικής δύναμης. (Για μια λίστα σωματιδίων με μηδενική μάζα, που είτε υπάρχουν είτε πιστεύεται οτι υπάρχουν αλλά δεν έχουν παρατηρηθεί ακόμη, κάντε κλικ εδώ — αλλά η σελίδα είναι μόνο στα αγγλικά.) Αυτός είναι ο λόγος που οι όροι “ΚΟΤ” και “ταχύτητα του φωτός” έχουν χρησιμοποιηθεί εναλλακτικά ο ένας με τον άλλον στο παρόν κείμενο. Το ζήτημα είναι οτι αν κάτι βρίσκεται στο ΚΟΤ, δεν μπορεί να αλλάξει την ταχύτητά του σε διαφορετική τιμή. Και αν κάτι δεν είναι ήδη στο ΚΟΤ, δεν μπορεί να αλλάξει την ταχύτητά του ώστε να το φτάσει. Επομένως το ΚΟΤ είναι το Κοσμικό Όριο Ταχυτήτων. Απόλυτος χωροχρόνος περιγραφόμενος από την ειδική σχετικότητα;;Τα ανωτέρω διαγράμματα και η συζήτηση που προηγήθηκε, εκεί που ισχυρίστηκα οτι «Το παραπάνω διάγραμμα είναι ο πραγματικός υπερβολικός χώρος» (στη Σημείωση 2) μοιάζουν να υπαινίσσονται οτι παριστάνουν ένα σύμπαν στο οποίο κυριαρχεί η ειδική θεωρία της σχετικότητας. Μα αυτό δεν μπορεί να είναι το σύμπαν-μας! Στην ειδική σχετικότητα, η κίνηση είναι σχετική, δεν υπάρχει τίποτα που να μοιάζει με προτιμώμενο σύστημα αναφοράς για όλους τους παρατηρητές. Πού στην ευχή πήγε η γενική σχετικότητα; Αν ο τρόπος που παρουσιάζω τα πράγματα παραπάνω είναι σωστός, ποιος ήταν ο λόγος που ο Αϊνστάιν πρότεινε την πιο σημαντική θεωρία της ζωής-του το 1915, τη θεωρία της γενικής σχετικότητας, ως συμπλήρωση και “διόρθωση” της ειδικής σχετικότητας; Η γενική σχετικότητα είναι θαυμάσια στην υγεία-της — ευχαριστώ πολύ — και τα πάει περίφημα στο σύμπαν-μας, τουλάχιστον στο μακρόκοσμο (παρά τα προβλήματα ασυμβατότητας με την κβαντική φυσική, που δεν μας απασχολούν εδώ). Είναι όμως χρήσιμη εκεί όπου υπάρχει ισχυρή βαρύτητα. Εκεί που η βαρύτητα είναι ασθενής ή αμελητέα, όπου η ύλη είναι τόσο αραιή που πρακτικά μπορεί να αγνοηθεί, και επομένως όπου η θεμελιώδης εξίσωση E = mc2 δεν έχει ιδιαίτερη “απήχηση” (σε κλίμακα διαγαλαξιακών αποστάσεων, π.χ.), εκεί η χρήση της γενικής σχετικότητας είναι κάπως σαν υπερβολή. Και τέτοια είναι η κατάσταση όταν κοιτάμε το σύμπαν στην ολότητά του. Ναι, τα άστρα με τις μεγάλες-τους μάζες είναι πολύ σημαντικά για εμάς τους ανθρώπους, και θέλουμε να ξέρουμε πώς συμπεριφέρεται το κουαρτέτο χώρου-χρόνου-ύλης-ενέργειας κοντά σε τέτοια αντικείμενα. Αλλά όταν κοιτάμε συνολικά το σύμπαν, η τεράστια μάζα δεν είναι παρά μια υποσημείωση! Ακόμα και εκεί όπου η σπουδαιότητα της βαρύτητας είναι για μας μεγάλη, όπως ασφαλώς συμβαίνει στην επιφάνεια του πλανήτη-μας, πόσο πιο αργά τρέχουν τα ρολόγια-μας λόγω του βαρυτικού πεδίου της Γης συγκρινόμενα με ρολόγια στο διάστημα; Απάντηση: κατά μια ποσότητα τόσο μικρή που θα μπορούσαμε άνετα να την αγνοήσουμε, αν δεν χρειαζόμασταν το σύστημα GPS να δουλεύει με εξαιρετικά μεγάλη ακρίβεια επί μακρά χρονικά διαστήματα. Ποιος, αν δεν είναι αστρονόμος, πραγματικά ενδιαφέρεται για το αν οι ακτίνες φωτός ενός άστρου κάμπτονται κατά κάτι ελάχιστο από το βαρυτικό πεδίο του Ήλιου (φαινόμενο που, επιπλέον, μπορεί να παρατηρηθεί μόνο κατά τη διάρκεια μιας έκλειψης), ή για το φαινόμενο του βαρυτικού φακού; (Αναφέρομαι σε παρατηρήσεις επί του μακρόκοσμου που αφορούν στη βαρύτητα.) Από την άλλη, η σχετικότητα είναι χρήσιμη — και μάλιστα απαραίτητη — στους πειραματικούς κβαντικούς φυσικούς, αλλά η ειδική σχετικότητα αρκεί για κάθε περίπτωση στην πράξη στον κόσμο των πειραμάτων κβαντικής φυσικής. Στο μακρόκοσμο, σε κλίμακα ολόκληρου του παρατηρήσιμου σύμπαντος, τα άστρα-υπεργίγαντες, τα άστρα νετρονίων, και οι μαύρες τρύπες μοιάζουν με τους κρατήρες και τις κορυφές βουνών στον πλανήτη-μας — μια αναλογία που ανέφερα πρωτύτερα, στην εισαγωγή. Συζητώντας λίγο περισσότερο αυτή την αναλογία, υποθέστε οτι βρίσκεστε επί ενός πλοίου που διασχίζει τους ωκεανούς, οι οποίοι καλύπτουν το 71% της επιφάνειας του πλανήτη. Ποια γεωμετρία θα σας ήταν χρήσιμη για λόγους πλοήγησης; Η σφαιρική γεωμετρία, ασφαλώς. Είναι αλήθεια οτι η χρησιμότητα της σφαιρικής γεωμετρίας θα έπαυε τη στιγμή που θα ξεμπαρκάρατε και θα προσπαθούσατε να αναρριχηθείτε σε ένα βουνό, ή να κατεβείτε σε έναν κρατήρα (αν και θα εξακολουθούσε να ισχύει στην επιφάνεια μιας μεγάλης ερήμου). Αλλά για να πλοηγηθείτε στο 71% του πλανήτη-μας αρκεί η βασική σφαιρική γεωμετρία, για την οποία δεν χρειάζεστε διορθώσεις, τουλάχιστον όχι στους ωκεανούς. Η σφαιρική γεωμετρία σε μεγάλη κλίμακα στη Γη είναι ανάλογη της απλής υπερβολικής γεωμετρίας στο μακρόκοσμο του σύμπαντός μας (τουλάχιστον του τμήματός του που είναι παρατηρήσιμο). Και η απλή υπερβολική γεωμετρία είναι το μαθηματικό υπόβαθρο της ειδικής σχετικότητας. Εντούτοις, κάποιες αντιρρήσεις μπορεί να παραμένουν στο νου του αναγνώστη. Στην ειδική σχετικότητα δεν υπάρχει απόλυτο σύστημα αναφοράς! Ένας παρατηρητής Α που κινείται ως προς τον παρατηρητή Β, είναι ελεύθερος να θεωρήσει το σύστημα αναφοράς-του ως “ακίνητο”, και το σύστημα αναφοράς του Β ως κινούμενο. Μα και ο Β, επίσης, έχει “ίσα δικαιώματα” με τον Α να θεωρήσει το δικό-του σύστημα αναφοράς ως ακίνητο, ενώ το σύστημα του Α ως κινούμενο. Στο κάτω-κάτω, γιαυτό την ονομάζουμε σχετικότητα. Μα αν τα παραπάνω διαγράμματα παρουσιάζουν τη γεωμετρία του σύμπαντος, τότε φαίνεται να υπάρχει ένα απόλυτο σύστημα αναφοράς: είναι αυτό που ορίζουν οι άξονες s, t και οι ασύμπτωτοι ευθείες! Πώς συμβαδίζει η ειδική σχετικότητα με το απόλυτο (ή “προτιμώμενο”) σύστημα αναφοράς; Σχετικότητα με απολυτότητα;; Το εννοιολογικό πρόβλημα ξεκινάει από το γεγονός οτι η ειδική σχετικότητα έχει ανέκαθεν ιδωθεί μόνο σαν ένα χρήσιμο σκαλοπάτι για να πλησιάζουμε “την ουσία του θέματος”, δηλαδή τη γενική σχετικότητα. Η τελευταία απαιτεί γνώση μαθηματικής ανάλυσης, και μάλιστα θεμάτων που ακόμα και πανεπιστημιακοί καθηγητές των μαθηματικών δεν μελετούν σε βάθος, εκτός αν τα ενδιαφέροντά τους σχετίζονται με τη φυσική. Ενώ η πρώτη απαιτεί μόνο γνώση μαθηματικών γυμνασίου-λυκείου — τετραγωνικές ρίζες και φανταστικοί-μιγαδικοί αριθμοί είναι όλο κι όλο αυτό που χρειάζεται κανείς για να χειριστεί την ειδική σχετικότητα. Δεν θα είχατε την ανάγκη ενός απόλυτου συστήματος αναφοράς αν ταξιδεύατε με ένα πλοίο στην επιφάνεια του ωκεανού (βλ. την προηγούμενή μου αναλογία), και ασχολιόσασταν μόνο με την περιγραφή γεγονότων που συνέβαιναν είτε στο πλοίο-σας, είτε σε γειτονικά, περαστικά πλοία. Τότε ναι, οι σχετικοί υπολογισμοί-σας βάσει της σφαιρικής γεωμετρίας θα αρκούσαν και δεν θα χρειαζόσασταν ένα απόλυτο σύστημα αναφοράς. Αλλά αυτό το γεγονός από μόνο-του δεν απαγορεύει την ύπαρξη ενός απόλυτου συστήματος αναφοράς, που είναι ο ωκεάνειος πυθμένας και οι μακρινές στεριές που δεν μπορείτε να δείτε ούτε με τα κυάλια-σας — αντικείμενα που, όλα μαζί, καθορίζουν τη σχεδόν σφαιρική επιφάνεια του πλανήτη-μας. Αυτό κάνουν τα εγχειρίδια της ειδικής σχετικότητας: μας λένε πώς να πλοηγούμαστε στον ωκεανό βάσει μόνο των τύπων της ειδικής σχετικότητας, αγνοώντας το απόλυτο σύστημα αναφοράς (τις στεριές και τον ωκεάνειο πυθμένα) που όμως υπάρχει, αλλά σε μεγάλες αποστάσεις. Το ίδιο συμβαίνει με το σύμπαν σε μεγάλη κλίμακα. Χρησιμοποιώντας την ειδική σχετικότητα τοπικά, δεν χρειαζόμαστε ένα απόλυτο σύστημα αναφοράς, και γνωρίζουμε οτι η θεωρία θα πάψει να λειτουργεί σωστά στη γειτονιά ενός αντικειμένου με μεγάλη μάζα. Αλλά αυτό δεν είναι απόδειξη για την ανυπαρξία ενός απόλυτου συστήματος αναφοράς, το οποίο όντως υπάρχει και καθορίζεται από τα μακρινά άστρα, τους γαλαξίες, τα σμήνη και τα υπερ-σμήνη γαλαξιών του σύμπαντος. Όλα αυτά είναι εκεί. Όταν μετακινείστε από το Γαλαξία-μας και πάτε στο γαλαξία της Ανδρομέδας, μετακινείστε ως προς εκείνα τα αντικείμενα. Και είστε εσείς που γερνάτε με πιο αργό ρυθμό από το δίδυμό σας αδερφό που παραμένει στη Γη, κι όχι ο δίδυμός σας που παίρνει παραμάσχαλα ολόκληρο το σύστημα του Γαλαξία-μας μαζί με την Ανδρομέδα (συν τους άλλους γαλαξίες της τοπικής-μας ομάδας) και φεύγει μακριά-σας — πράγμα εξωφρενικό και πλήρως συγκρουόμενο με την πραγματικότητα. Εδώ θέλω να κάνω κάποιες παρατηρήσεις σχετικά με το περίφημο “παράδοξο των διδύμων”, που νομίζω παρουσιάζεται από λανθασμένη οπτική σε ορισμένα βιβλία περί ειδικής σχετικότητας. Το παράδοξο των παραδοξολογούντων με το “παράδοξο των διδύμων”Επί δεκαετίες, βιβλία επί βιβλίων έχουν γραφεί λέγοντάς μας οτι ο ένας δίδυμος που κάνει το ταξίδι με ταχύτητα παραπλήσια του φωτός γερνάει πιο αργά από τον αδερφό-του που παραμένει π.χ. στη Γη· κι οτι αυτό θα διαπιστωθεί όταν ο ταξιδιώτης δίδυμος επιστρέψει στη Γη, οπότε η διαφορά ηλικίας μεταξύ των δύο διδύμων θα γίνει με απλή παρατήρηση: ο ταξιδιώτης νέος, ο παραμένων γέρος. Ως εδώ όλα καλά. Από εκεί και πέρα όμως, τα βιβλία (και συγκεκριμένα κάποια λεγόμενα “εκλαϊκευτικά” της σχετικότητας) μπαίνουν χωρίς λόγο στην εξής ατραπό: Εφόσον, σύμφωνα με τη σχετικότητα, δεν υπάρχει απόλυτο (αλλά μόνο σχετικό) σύστημα αναφοράς, ο ταξιδεύων δίδυμος, ας τον ονομάσουμε Α, μπορεί να θεωρήσει οτι το σύστημα αναφοράς-του είναι ακίνητο κι οτι αυτός που κάνει το ταξίδι είναι ο δίδυμός του, ας τον ονομάσουμε Β. Οι τύποι της σχετικότητας είναι συμμετρικοί ως προς τους Α και Β, άρα μπορούν να εφαρμοστούν εξίσου, είτε από τη σκοπιά του Α, είτε από τη σκοπιά του Β. Γιαυτό τη λέμε και “σχετικότητα” στο κάτω-κάτω, έτσι δεν είναι; Οπότε, τα βιβλία στα οποία αναφέρομαι, ξεκινούν το έργο να μας αποδείξουν οτι, παρόλη τη συμμετρία της ειδικής σχετικότητας, μόνο ο ταξιδιάρης δίδυμος (ο Α) είναι που θα μείνει νεότερος στην πραγματικότητα, ενώ ο Β θα γεράσει πιο πολύ από τον Α. Μα πώς; Αν υπάρχει πλήρης ισοδυναμία στα δύο συστήματα αναφοράς (του Α και του Β) στην ειδική σχετικότητα (που ασφαλώς υπάρχει), τότε όποια συλλογιστική ακολουθήσουμε για τον Β ως ακίνητο και συνάγουμε οτι ο Α μένει νεότερος, ακριβώς την ίδια συλλογιστική (λόγω ισοδυναμίας) μπορούμε να ακολουθήσουμε για τον Α ως ακίνητο και να συνάγουμε οτι ο Β μένει νεότερος. Πώς δηλαδή θα αποδείξουμε, σώνει και καλά, οτι μόνο ο Α μένει νεότερος, δεδομένης της ισοδυναμίας; Δεν μπορούμε να έχουμε και την πίτα ολόκληρη και το σκύλο χορτάτο! Οι συγγραφείς των βιβλίων αυτών κάνουν τους υπολογισμούς από τη σκοπιά του Β, και αποδεικνύουν (όπως δείχνουν τα νούμερα) οτι ο Α θα παραμείνει νεότερος από τον Β κατά την επιστροφή. Όταν όμως κάνουν τους υπολογισμούς από τη σκοπιά του Α (που υποθέτει οτι μένει ακίνητος) βάζουν έμμεσα στους υπολογισμούς την υπόθεση οτι ο Α ταξιδεύει. Κλασικό τέτοιο παράδειγμα είναι το βιβλίο του Paul Davies “About Time: Einstein’s Unfinished Revolution” (1995, Simon & Schuster). Άλλοι συγγραφείς, χωρίς να κάνουν τους σωστούς υπολογισμούς (που θα τους διέψευδαν) ισχυρίζονται οτι η ασυμμετρία μεταξύ των διδύμων οφείλεται “στις επιταχύνσεις”. Δηλαδή, εφόσον ο Α ταξιδεύει, προκειμένου να γυρίσει πίσω στη Γη πρέπει να επιβραδύνει, να αλλάξει πορεία, και κατόπιν να επιταχύνει, αποκτώντας και πάλι σταθερή ταχύτητα αλλά αυτή τη φορά με κατεύθυνση το δίδυμό του Β που περιμένει στη Γη. Εκεί, στις επιβραδύνσεις/επιταχύνσεις λένε, είναι που σπάει η συμμετρία, επειδή μόνο ο Α θα αισθανθεί την επιβράδυνση και επιτάχυνση (άρα θα συμπεράνει αντικειμενικά οτι ταξιδεύει), ενώ ο Β δεν θα αισθανθεί καμία διαφορά. Μα δεν είναι απαραίτητο να συμβούν επιβραδύνσεις/επιταχύνσεις! Ο Α μπορεί κάλλιστα να έχει προσυνεννοηθεί με έναν τρίτο Α΄ (έναν “τρίδυμο” ας τον πούμε), ώστε τη στιγμή που ο Α φτάνει στον προορισμό-του να συναντήσει τον Α΄, ο οποίος έχει ήδη ξεκινήσει το ταξίδι λίγο πιο πριν, και έχει ήδη αποκτήσει την ταχύτητα του Α κατ’ απόλυτη τιμή αλλά με αντίθετη κατεύθυνση. Οι Α και Α΄ συντονίζουν τα ρολόγια-τους τη στιγμή της συνάντησης (εφόσον, στιγμιαία, βρίσκονται στο ίδιο σύστημα αναφοράς), και ο Α΄ συνεχίζει το ταξίδι προς τη Γη και τον Β (ενώ ο Α πάει για καφέ, υποθέτω, ή στον αγύριστο — δεν μας νοιάζει). Έτσι, ο Α΄ προσομοιώνει πλήρως έναν Α που έφτασε, γύρισε πίσω, και το έκανε αυτό ακαριαία, χωρίς καμία επιβράδυνση ή επιτάχυνση. Παρέλειψα να πω οτι δεν μας ενδιαφέρει η πραγματική ηλικία του Α΄ (ας μην είναι τρίδυμος), αλλά μόνο το πόσο χρόνο θα έχει καταγράψει το ρολόι-του όταν θα φτάσει πίσω στη Γη. Φυσικά, το ρολόι του Α΄ θα έχει καταγράψει χρόνο μικρότερο από αυτόν που θα παρατηρεί ο Β στο δικό-του ρολόι. Πώς εξηγείται η ασυμμετρία τώρα χωρίς επιβραδύνσεις/επιταχύνσεις; Απλούστατα: ο δίδυμος Α ταξιδεύει πραγματικά! Ταξιδεύει ως προς το απόλυτο σύστημα αναφοράς που μας δίνει ο χωροχρόνος των αστέρων, γαλαξιών, κ.ά. ουρανίων σωμάτων. Γιαυτό γερνάει ο Β πιο πολύ από τον Α. Το ταξίδι δεν είναι σχετικό, είναι απόλυτο. Το ίδιο μας δείχνουν και τα μιόνια που φτάνουν ως την επιφάνεια της θάλασσας — παρατήρηση που χρησιμοποιείται κατ’ επανάληψη ως επιβεβαίωση της ορθότητας της ειδικής σχετικότητας. Σωστή η παρατήρηση: το μέσο μιόνιο “γερνάει” πολύ λιγότερο απ’ ότι θα αναμέναμε αν δεν κινείτο με ταχύτητα κοντά σ’ εκείνη του φωτός, γιαυτό και καταφέρνει να φτάσει ως τη θάλασσα πριν διασπαστεί (κατά μέσο όρο, εννοείται). Αν όμως ίσχυε η συμμετρία των τύπων της ειδικής σχετικότητας, το μιόνιο θα μπορούσε να θεωρήσει τον εαυτό-του ακίνητο, και τη Γη να έρχεται προς εκείνο για να το συναντήσει με ταχύτητα παραπλήσια με εκείνη του φωτός. Τότε όμως, η Γη θα έπρεπε να παραμένει νεότερη από αυτήν που όντως συναντάει το μιόνιο. Για να δούμε οτι αυτό δεν μπορεί να συμβαίνει, και επειδή το ταξίδι του μιονίου από τα ανώτερα στρώματα της ατμόσφαιρας ως την επιφάνεια της θάλασσας είναι πολύ σύντομο για να διαπιστωθεί το κατά πόσο “γέρασε” η Γη, πρέπει να δούμε το ίδιο παράδειγμα αλλά με μεγαλύτερες αποστάσεις και χρόνους ταξιδιού. Ας φανταστούμε λοιπόν τα εξής: Υποθέστε οτι, 3 εκατομμύρια χρόνια πριν, ο Α άρχισε ένα ταξίδι από έναν πλανήτη στα απομακρυσμένα από μας όρια του γαλαξία της Ανδρομέδας, 3 εκατομμύρια έτη φωτός μακριά από τη Γη, ταξιδεύοντας προς τη Γη με ταχύτητα v = 0.9999999998c. (Υποθέτουμε οτι δεν υπήρξε καθόλου επιτάχυνση στον Α, γιατί είχε ξεκινήσει λίγο πριν το ταξίδι-του, και έφτασε στην επιθυμητή ταχύτητα v εκεί ακριβώς στα 3 εκ. χρόνια πριν, και 3 εκ. έτη φωτός μακριά-μας.) Την εποχή εκείνη, στη Γη δεν υπήρχαν άνθρωποι ακόμα, αλλά μόνο ανθρωπίδες διαφόρων ειδών αυστραλοπιθήκων. Ας υπολογίσουμε το χρόνο που θα βιώσει ο Α σ’ αυτό το εξαιρετικό ταξίδι. Σύμφωνα με τους τύπους της ειδικής σχετικότητας, ο χρόνος t´ του ταξιδιού που θα βιώσει ο A είναι: t´ = (1 – α) t / √(1 – α2), όπου α = v/c = 0.9999999998. Αντικαθιστώντας στον τύπο αυτόν την τιμή t = 3.000.000 έτη, βρίσκουμε t´ = 30 έτη. Τόσο θα διαρκέσει το ταξίδι για τον Α, αν και στη Γη θα περάσουν 3.000.000 χρόνια, υποθέτοντάς την “ακίνητη” (ή “αμελητέα κινούμενη”, γιατί σε 3.000.000 χρόνια ο Γαλαξίας-μας δεν κινείται ουσιαστικά σε σχέση με εκείνον της Ανδρομέδας). Μα, σε 3.000.000 χρόνια, οι αυστραλοπίθηκοι θα εξελιχθούν στο δικό μας είδος. Θα έχουν γίνει εμείς. Άρα ο Α, κατά την άφιξή του στη Γη, δεν θα συναντήσει αυστραλοπιθήκους αλλά εμάς. Προφανώς θα του επιφυλάξουμε μια πολύ διαφορετική υποδοχή (παράτες, ανταλλαγή δώρων, όρκοι αιώνιας αλληλεγγύης και φιλίας) από εκείνη που θα του επιφύλασσαν οι αυστραλοπίθηκοι (πιθανώς πλήρης αδιαφορία). Αν όμως, βάσει της απόλυτης ισοδυναμίας των συστημάτων στην ειδική σχετικότητα, θεωρήσουμε οτι ο Α είναι ακίνητος ενώ οι αυστραλοπίθηκοι “έρχονται” προς αυτόν με ταχύτητα v = 0.9999999998c (μαζί με όλη τη Γη, όλο το Γαλαξία-μας, και με τον Α να αφήνει πίσω-του το γαλαξία της Ανδρομέδας — αυτή την εξωφρενική κατάσταση που απαιτεί η συμμετρία της ειδικής σχετικότητας) τότε οι ίδιοι τύποι θα μας δώσουν οτι το ταξίδι των αυστραλοπιθήκων θα διαρκέσει t´΄ = 30 έτη. Άρα ο αυστραλοπίθηκος που ήταν μωράκι όταν το ταξίδι της Γης-κλπ. ξεκίνησε, έγινε απλώς παππούς και είναι με το ένα πόδι στον τάφο μετά από 30 χρόνια, αλλά ζει ακόμα όταν τον συναντά ο Α! Τί θα συναντήσει ο Α λοιπόν; Ανθρώπους του δικού-μας είδους, ή αυστραλοπιθήκους; Δεν χρειάζεται να είναι πυρηνικός επιστήμονας κανείς για να συμπεράνει το προφανές: ο Α θα συναντήσει εμάς, τους ανθρώπους. Τί θα βλέπει ο Α με το υπερ-τηλεσκόπιό του παρατηρώντας τη Γη καθόλη τη διάρκεια του ταξιδιού; Θα δει, μέσα σε 30 χρόνια, σε εξαιρετικά γρήγορη κίνηση, όλη την εξέλιξη των ανθρωπίδων από την εποχή των αυστραλοπιθήκων μέχρι τη δική-μας εποχή, των ανθρώπων. (Ας αγνοήσουμε το οτι, λόγω της τρομερής ταχύτητας του διαστημοπλοίου-του, όλα τα φωτόνια που θα φτάνουν στο τηλεσκόπιό του από “εμπρός”, από τη Γη δηλαδή, θα έχουν μετατραπεί σε ακτίνες γάμμα λόγω του φαινομένου Doppler. Πείραμα σκέψης είπαμε να κάνουμε βρε παιδιά, όχι ρεαλιστική προσομοίωση!) Χωρίς το υπόλοιπο του σύμπαντος να μας δίνει ένα σταθερό σύστημα αναφοράς, τόσο ο κινούμενος (ως προς αυτό) ταξιδιώτης όσο και ο ακίνητος θα κάνουν ακριβώς τους ίδιους υπολογισμούς, γιατί η κατάστασή τους είναι συμμετρική. Οπότε — πάντα με απόν το υπόλοιπο του σύμπαντος — δεν έχουμε τρόπο να διαχωρίσουμε τα δύο αλληλοσυγκρουόμενα γεγονότα και να προβλέψουμε ποιο απο τα δυο θα συμβεί. Μόνο όταν προσθέσουμε το υπόλοιπο του σύμπαντος στην εικόνα (και όχι με συμμετρικές σχετικιστικές εξισώσεις) μπορούμε να κάνουμε την παρατήρηση (όχι απλώς τον υπολογισμό, αλλά την παρατήρηση, όπως κάνουμε με τα μιόνια) οτι ο Α θα γεράσει μόνο κατά 30 χρόνια σε ένα τέτοιο επικό ταξίδι 3.000.000 ετών. Αλλά προσθέτοντας το υπόλοιπο του σύμπαντος στην εικόνα δεν κάνουμε τίποτ’ άλλο από το να προσθέτουμε ένα σταθερό σύστημα αναφοράς, που είναι η πραγματικότητα: το απόλυτο σύστημα αναφοράς που η ειδική σχετικότητα πάσχισε να απαλείψει. Δεν υπάρχει κανένα “λάθος” στο να θεωρούμε το χωροχρόνο του σύμπαντός μας ως απόλυτο σύστημα αναφοράς. Η σύγχυση αυτή έχει ιστορικές ρίζες και αιτίες: Η Νευτώνεια θεωρία υπέθεσε έναν απόλυτο χώρο και έναν απόλυτο χρόνο. Στη συνέχεια ήρθε η θεωρία του Αϊνστάιν, ο οποίος ήταν επηρεασμένος από τις λίγο-νωρίτερες φιλοσοφικές (και σχετικιστικές) απόψεις του Μαχ. Κατά τα 1905–1906 ο Αϊνστάιν είπε οτι δεν υπάρχει απόλυτος χρόνος: τα χρονικά διαστήματα είναι σχετικά με την κίνηση του παρατηρητή. Επίσης δεν υπάρχει απόλυτος χώρος: τα μήκη του χώρου είναι επίσης σχετικά με την κίνηση του παρατηρητή. Σωστά. Αλλά υπάρχει απόλυτος χωροχρόνος, που ορίζεται από από την κατανομή της ύλης στο σύμπαν. Αυτό δεν ειπώθηκε αυτολεξεί από τον Αϊνστάιν κατά τα 1905–1906, γιατί δεν ήταν απαραίτητο. Και επειδή η θεωρία της σχετικότητας έγινε η σημαία (ή μια από τις δύο σημαίες) της φυσικής στην επιστήμη του 20ού αιώνα, κανείς δεν θέλησε να “μιάνει” το άρωμα της επανάστασης που έφερε στον κόσμο η σχετικιστική σκέψη κάνοντας μνεία σε ένα απόλυτο σύστημα αναφοράς όπως ο χωροχρόνος. Συνολικό συμπέρασμα: η ειδική σχετικότητα περιγράφει τον υπερβολικό απόλυτο χωροχρόνο του σύμπαντός μας με πολύ μεγάλη προσέγγιση, διορθωνόμενη εδώ και εκεί από την πιο ακριβή γενική σχετικότητα, που είναι απαραίτητη μόνο στα πολύ-πολύ σπάνια (σε συμπαντική κλίμακα) σημεία όπου εμφανίζονται αντικείμενα με αληθινά μεγάλη μάζα.
|
Αν
είστε μαθηματικός, δεν έχετε κανένα απολύτως πρόβλημα να καταλάβετε
την πρόταση: «όποτε η διάσταση του χρόνου εμπλέκεται με οποιαδήποτε
από (ή όλες) τις άλλες τρεις [διαστάσεις], τότε η γεωμετρία του
χωρο-χρόνου που προκεύπτει είναι υπερβολική».
Κάθε ευθεία με κλίση μικρότερη (λιγότερο απότομη) από εκείνη της
ασυμπτώτου αντιστοιχεί σε μια οντότητα που κινείται με ταχύτητα
μικρότερη από το ΚΟΤ (πιο αργή από την ταχύτητα του φωτός).
