Ευκλείδου Στοιχεία

Σχεδόν τίποτε δεν είναι γνωστό για τον Ευκλείδη, εκτός του οτι έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, κατά την ηγεμονία του Πτολεμαίου του 1^ου (323 π.Χ. – 283 π.Χ.). Δραστηριοποιήθηκε στη μεγάλη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, και πιθανώς υπήρξε μελετητής στην Ακαδημία του Πλάτωνα, στην Αθήνα.

Τα Στοιχεία αποτελούνται από 13 βιβλία, μερικά από τα οποία πραγματεύονται τομείς των μαθηματικών που σήμερα ονομάζουμε άλγεβρα και θεωρία αριθμών, αλλά οι αρχαίοι Έλληνες πλησίασαν αυτά τα θέματα πάντοτε από γεωμετρική σκοπιά. Τα Στοιχεία πραγματεύονται σημαντικά θέματα στην γεωμετρία του επιπέδου όπως: το Πυθαγόρειο θεώρημα, ισότητα τριγώνων, γωνίες και σχέσεις-τους με τρίγωνα, γωνίες και τρίγωνα εγγεγραμμένα σε κύκλο, εφαπτόμενες, περιγεγραμμένοι κύκλοι, πολύγωνα, το θεώρημα του Θαλή, η χρυσή αναλογία, κ.ά.

Τέλος, στην γεωμετρία στερεών, τα θέματα περιλαμβάνουν καθετότητα και παραλληλία σε 3 διαστάσεις, επιφάνειες και όγκους παραλληλεπιπέδων, κώνων, πυραμίδων, κυλίνδρων, πρισμάτων, και της σφαίρας, τα κανονικά (Πλατωνικά) πολύεδρα εγγεγραμμένα σε σφαίρα, κ.ά.

Εκτός του οτι υπήρξε βασικό έργο αναφοράς για τη γεωμετρία και τη θεωρία αριθμών, μια άλλη, πολύ σπουδαία συνεισφορά των Στοιχείων υπήρξε οτι έκανε κατανοητή την αξιωματική μέθοδο και τη λογική συνεπαγωγή (την απόδειξη συμπερασμάτων από υποθέσεις), τα οποία έγιναν κτήμα του υποσυνείδητου της Δυτικής σκέψης στους αιώνες που ακολούθησαν. Όταν σήμερα λέμε: «Μπορείς να το αποδείξεις;» αυτό που εννοούμε είναι, στην ιδεατή περίπτωση, να ξεκινήσει κανείς από κάποιες αναμφισβήτητες υποθέσεις (π.χ. επαληθεύσιμα γεγονότα), και, κάνοντας μόνο λογικές συνεπαγωγές, να αποδείξει τη ζητούμενη πρόταση συμπερασματικά, όπως αποδεικνύονται οι προτάσεις στα Στοιχεία. Στην πραγματικότητα φυσικά αυτό δεν μπορεί να γίνει στην εντέλεια σχεδόν ποτέ, αλλά είναι η ιδεατή κατάσταση αυτής της διαδικασίας που ενστερνίστηκε η Δυτική σκέψη μέσω των στοχαστών-της, χάρη κυρίως στα Στοιχεία.

Οι αποδείξεις του Ευκλείδη δεν είναι πάντα ολόσωστες, γιατί σε μερικές περιπτώσεις κάνει χρήση προτάσεων που φαίνονται “προφανείς”, αλλά που δεν τις έχει αναφέρει (ή αποδείξει) μέχρι εκείνο το σημείο. Αυτό εντούτοις είναι αναπόφευκτο, όπως καθένας με εμπειρία στον τομέα της αυτόματης απόδειξης θεωρημάτων γνωρίζει: αν θέλει κάποιος να παρουσιάσει μια πλήρη απόδειξη οποιασδήποτε μη-τετριμμένης πρότασης, ο αληθινός αριθμός προτάσεων των οποίων πρέπει να κάνει χρήση η απόδειξη είναι τόσο μεγάλος που ξεπερνά την ικανότητα του ανθρώπινου νου να έχει πλήρη εικόνα — γιαυτό μόνο μηχανές μπορούν να παρουσιάσουν κάποιες τέτοιες πλήρεις αποδείξεις. Ο Ευκλείδης έκανε απλοποιήσεις, όπως είναι υποχρεωμένος να κάνει και κάθε δάσκαλος που διδάσκει τη γεωμετρία στο σχολείο.

Γιατί στο αρχαίο κείμενο δεν αρχίζει η κάθε πρόταση με κεφαλαίο γράμμα μετά από τελεία;

Γιατί η πρακτική του να γράφουμε κεφαλαίο το πρώτο γράμμα μετά από τελεία είναι σχετικά πρόσφατη. Αν δείτε τα αρχαία κείμενα έτσι όπως τα έγραφαν οι αντιγραφείς (χειρόγραφα), θα διαπιστώσετε οτι δεν χρησιμοποιούσαν κεφαλαίο γράμμα μετά από τελεία.

Γιατί το κείμενο παρουσιάζεται μ’ αυτόν τον περίεργο τρόπο, με τα γράμματα να εμφανίζονται να “σμπρώχνουν” το ένα το άλλο μέχρις ότου μπει το καθένα στη θέση του;

Αυτό συμβαίνει μόνο στη μικροεφαρμογή Java αυτής της σελίδας (και όχι στο αυτόνομο πρόγραμμα), και γίνεται επειδή κάθε γράμμα είναι ένα εικονίδιο (GIF). Οι περιηγητές του διαδικτύου (όπως επίσης και η Java που είναι υπεύθυνη για την εμφάνιση αυτών των εικονιδίων στην οθόνη-σας) δείχνουν τις εικόνες με τυχαία σειρά, όταν υπάρχουν περισσότερες από μία στην ίδια σελίδα. Έτσι, οι εικόνες των γραμμάτων εμφανίζονται κι αυτές τυχαία, δηλαδή με τη σειρά που φορτώνονται από το διαδίκτυο, μέχρις ότου μπουν όλες στη θέση-τους. Από τη στιγμή πάντως που μια εικόνα έχει φορτωθεί δεν χρειάζεται να ξαναφορτωθεί όποτε εμφανίζεται, εκτός εάν βγείτε από την παρούσα σελίδα. Γιαυτό το λόγο αυτή η απρόσμενη συμπεριφορά μειώνεται μέχρι που παύει να υπάρχει καθώς προχωράτε στο κείμενο. Εντούτοις, το πρόβλημα αυτό δεν υπάρχει στο αυτόνομο πρόγραμμα, γιατί εκείνο δουλεύει τοπικά στον υπολογιστή-σας.

Μερικές φορές η χρήση των γραμμών ολίσθησης (scrollbars) του περιηγητή (όχι των έγχρωμων εσωτερικών του Κλασικού Αναγνώστη) χαλάει την εμφάνιση κάποιας γραμμής ή γραμμών του κειμένου.

Αυτό το πρόβλημα δημιουργείται από τον περιηγητή, και εμφανίζεται περιστασιακά όταν κάνουμε ολίσθηση (scroll) πάνω ή κάτω στην ιστοσελίδα, την ίδια ώρα που μια μικροεφαρμογή Java προσπαθεί να εμφανίσει τα περιεχόμενα που της έχουν ανατεθεί. Για να επανεμφανίσετε το κείμενο στη σωστή-του μορφή, κάντε κλικ στην επιλογή Κείμενο, και επιλέξτε το ίδιο κεφάλαιο με αυτό που διαβάζετε τώρα. Και πάλι, το πρόβλημα αυτό δεν υπάρχει στο αυτόνομο πρόγραμμα.

Γιατί στα νέα ελληνικά (τόσο στα κείμενα του Κλασικού Αναγνώστη, όσο και στην παρούσα ιστοσελίδα) γίνεται χρήση μιας παύλας μεταξύ του ουσιαστικού και της προσωπικής αντωνυμίας-του (όπως μόλις τώρα);

Αυτή είναι μια “πονεμένη ιστορία” της γραφής στη νέα ελληνική γλώσσα. Όσο χρησιμοποιούσαμε το πολυτονικό σύστημα δεν υπήρχε κανένα πρόβλημα, γιατί το μου της φράσης μου φάνηκε τονίζονταν με περισπωμένη, ενώ το μου της φράσης το δώρο μου δεν τονιζόταν καθόλου (που ήταν χαρακτηριστικό των εγκλιτικών λέξεων στην αρχαία ελληνική, όπου υπήρχαν αρκετές περισσότερες). Το μονοτονικό σύστημα όμως, παρόλα τα αναμφισβήτητα πλεονεκτήματά του, μετέτρεψε φράσεις όπως το δώρο μου φάνηκε σε διφορούμενες: το δικό-μου δώρο φάνηκε σε κάποιους άλλους, ή το δώρο κάποιων άλλων φάνηκε σ’ εμένα; Βεβαίως το πρόβλημα αφορά όχι μόνο τη λέξη μου, αλλά και τις σου, του, της, το, τους, τις, τα. Δοσμένης της συχνότητας των λέξεων αυτών στην ελληνική, το πρόβλημα μεγεθύνεται υπέρμετρα. Η πιο συνηθισμένη πρακτική είναι να τονίζεται η μη εγκλιτική λέξη, αλλά μόνο όταν προκαλείται διφορούμενο νόημα. Δυστυχώς, συνήθως δεν είναι εύκολο να εντοπιστεί η ύπαρξη διφορούμενου νοήματος, και στην πράξη η πρακτική αυτή οδηγεί σε πολλά λάθη, όπως μπορεί κανείς να διαπιστώσει π.χ. στα περιοδικά και τις εφημερίδες. Η δική-μου αντιμετώπιση του προβλήματος είχε προταθεί στη δεκαετία του ’80, αλλά έκτοτε μάλλον εγκαταλείφθηκε. Προτείνει τη χρήση της παύλας που ενώνει την εγκλιτική λέξη με την προηγούμενή της, στην οποία νοηματικά ανήκει, εκτός αν η προηγούμενη λέξη τονίζεται σε δύο συλλαβές (στη λήγουσα και στην προπαραλήγουσά της, όπως μόλις τώρα), γιατί τότε φαίνεται οτι πρόκειται για εγκλιτική. Προτιμώ αυτή τη λύση για δύο λόγους: πρώτο γιατί μπορεί να εφαρμοστεί χωρίς λάθη όχι μόνο από εμάς τους “γηγενείς ομιλητές” αλλά και από αυτούς που μαθαίνουν τη νέα ελληνική σαν δεύτερη γλώσσα (άλλωστε ας θυμηθούμε οτι και το πολυτονικό σύστημα γι’ αυτούς είχε δημιουργηθεί: για να βοηθήσει τους αρχαίους μαθητές μη-γηγενείς ομιλητές της ελληνικής)· και δεύτερο γιατί είναι πιο εύκολο για προγράμματα υπολογιστών να επεξεργαστούν ελληνικά κείμενα, “κατανοώντας” τη διαφορά των εγκλιτικών από τις αντίστοιχες μη εγκλιτικές-μας λέξεις. Η σημασία του τελευταίου αυτού πλεονεκτήματος δεν γίνεται εύκολα κατανοητή από την μη-μυημένο στην αυτόματη γλωσσική επεξεργασία, πιστεύω όμως οτι είναι ένα θέμα πολύ πιο σπουδαίο απ’ όσο ακούγεται, γιατί σχετίζεται με το “ψηφιακό μέλλον” της γλώσσας-μας.